Задание 3 #45841 2 балла а) Решите уравнение 25х-0,5 - 13 ⋅ 10х-1 + 4х+0,5 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-π/2; π].

Решение:

1. а) Решение уравнения:
   • Перепишем уравнение, используя свойства степеней:
   • (5²)^x-0.5 - 13 ⋅ (2⋅5)^x-1 + (2²)^x+0.5 = 0
   • 5^2x-1 - 13 ⋅ 2^x-1 ⋅ 5^x-1 + 2^2x+1 = 0
   • (1/5) ⋅ 5^2x - 13 ⋅ (1/2) ⋅ 2^x ⋅ (1/5) ⋅ 5^x + 2 ⋅ 2^2x = 0
   • (1/5) ⋅ (5^x)² - (13/10) ⋅ 2^x ⋅ 5^x + 2 ⋅ (2^x)² = 0
   • Разделим обе части на (2^x)² (так как 2^x ≠ 0):
   • (1/5) ⋅ (5^x/2^x)² - (13/10) ⋅ (5^x/2^x) + 2 = 0
   • (1/5) ⋅ (5/2)^2x - (13/10) ⋅ (5/2)^x + 2 = 0
   • Пусть y = (5/2)^x. Тогда уравнение примет вид:
   • (1/5)y² - (13/10)y + 2 = 0
   • Умножим на 10 для удобства: 2y² - 13y + 20 = 0
   • Решим квадратное уравнение:
   • Дискриминант D = (-13)² - 4 ⋅ 2 ⋅ 20 = 169 - 160 = 9.
   • y₁ = (13 - 3) / (2 ⋅ 2) = 10 / 4 = 5/2.
   • y₂ = (13 + 3) / (2 ⋅ 2) = 16 / 4 = 4.
   • Вернемся к замене:
   • (5/2)^x = 5/2 => x = 1.
   • (5/2)^x = 4.
   • Прологарифмируем обе части по основанию 5/2: x = log_5/2(4).
2. б) Выбор корней, принадлежащих промежутку [-π/2; π]:
   • Значение x = 1 входит в промежуток [-π/2; π], так как -1.57 ≈ -π/2 < 1 < π ≈ 3.14.
   • Значение x = log_5/2(4) ≈ log_2.5(4). Так как 2.5¹ = 2.5 и 2.5² = 6.25, то 1 < log_5/2(4) < 2.
   • Приблизительное значение log_5/2(4) ≈ 1.5.
   • Это значение также входит в промежуток [-π/2; π].

Ответ: а) x = 1, x = log_5/2(4). б) x = 1, x = log_5/2(4).