Задание №2. Упростите выражение и найдите его значение при \(a=4\): \(\frac{a^2-16}{a^2+5a+6}:\frac{a-4}{a+3}\).

Разложим многочлены на множители и заменим деление умножением на обратную дробь:

\(\frac{a^2-16}{a^2+5a+6}:\frac{a-4}{a+3}=\frac{(a-4)(a+4)}{(a+2)(a+3)}\cdot\frac{a+3}{a-4}.\)

Сократим общие множители: \(\frac{a+4}{a+2}.\)

В исходном выражении необходимо \(a\ne-2\), \(a\ne-3\), а также \(a\ne4\), поскольку на нуле делить нельзя. Поэтому при \(a=4\) исходное выражение не определено: делитель равен нулю. Подстановка числа 4 в упрощённую дробь даёт 2, но это не значение исходного выражения, так как при сокращении было исключено значение \(a=4\).

Ответ: выражение упрощается до \(\frac{a+4}{a+2}\) при \(a\ne-2,-3,4\); при \(a=4\) значение исходного выражения не существует.