Задание 1. Найти двугранный угол DABC тетраэдра DABC (рис. 1), если углы BCD и ACD прямые, АВ = BC = AC = 4, BD = 2√7.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, что двугранный угол при ребре BC — это угол между плоскостями ABC и DBC. Так как углы BCD и ACD прямые, CD перпендикулярна плоскости ABC. Следовательно, CD перпендикулярна BC.
2. Шаг 2: В плоскости ABC AC = BC = 4. Треугольник ABC — равнобедренный.
3. Шаг 3: В плоскости DBC BC = 4, BD = 2√7. По теореме Пифагора в треугольнике BCD: $$CD^2 = BD^2 - BC^2 = (2√7)^2 - 4^2 = 28 - 16 = 12$$. $$CD = √12 = 2√3$$.
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник ACD. Угол ACD — прямой. AC = 4, CD = 2√3. По теореме Пифагора: $$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 4^2 + (2√3)^2 = 16 + 12 = 28$$. $$AD = √28 = 2√7$$.
5. Шаг 5: В треугольнике BCD, BC = 4, CD = 2√3, BD = 2√7. Угол BCD — прямой.
6. Шаг 6: В треугольнике ABC, AB = 4, BC = 4, AC = 4. Треугольник ABC — равносторонний.
7. Шаг 7: Двугранный угол при ребре BC — это угол между плоскостями ABC и DBC. Найдем угол между плоскостями. Проведем перпендикуляр из C к BC в плоскости ABC — это AC. Проведем перпендикуляр из C к BC в плоскости DBC — это CD. Угол между AC и CD — искомый двугранный угол.
8. Шаг 8: В треугольнике ACD: AC = 4, CD = 2√3, AD = 2√7. По теореме косинусов: $$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 imes AC imes CD imes ext{cos}( ext{∠ACD})$$. $$(2√7)^2 = 4^2 + (2√3)^2 - 2 imes 4 imes 2√3 imes ext{cos}( ext{∠ACD})$$. $$28 = 16 + 12 - 16√3 imes ext{cos}( ext{∠ACD})$$. $$28 = 28 - 16√3 imes ext{cos}( ext{∠ACD})$$. $$16√3 imes ext{cos}( ext{∠ACD}) = 0$$. $$ ext{cos}( ext{∠ACD}) = 0$$. Следовательно, ∠ACD = 90°.

Ответ: 90°