Задание 10. Найдите значение выражения \(\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} + \sqrt{5}\)

Преобразуем выражение под первым корнем. Попробуем представить его в виде полного квадрата: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\). Заметим, что \(6\sqrt{5} = 2 \cdot 3 \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{45}\). Тогда \(14 = 9 + 5\), и можно переписать подкоренное выражение как \(9 - 2\sqrt{45} + 5\). Однако это не полный квадрат. Попробуем иначе: \(14 - 6\sqrt{5} = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (3 - \sqrt{5})^2\) Тогда: \(\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = |3 - \sqrt{5}|\) Так как \(3 = \sqrt{9} > \sqrt{5}\), то \(3 - \sqrt{5} > 0\), и модуль можно опустить: \(\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}\) Теперь подставим это в исходное выражение: \(3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\) Ответ: 3