Задание 4 (28 баллов). Расстояние между городами А и В равно 13 км. Из города А вышел пешеход, а в то же самое время навстречу ему выехал электросамокатчик, скорость которого на 11 км/ч больше скорости пешехода. Электросамокатчик сделал остановку на 30 мин, а затем продолжил движение до встречи с пешеходом. Определите скорость пешехода, если встреча произошла на расстоянии 5 км от города А.

Ответ: 4 км/ч

Пусть x - скорость пешехода (км/ч).

• Тогда скорость электросамокатчика: x + 11 (км/ч).

Время, которое пешеход был в пути до встречи:

\[\frac{5}{x}\]

Расстояние, которое проехал электросамокатчик до встречи:

\[13 - 5 = 8\]

Время, которое электросамокатчик был в пути до встречи (учитывая остановку в 30 минут или 0,5 часа):

\[\frac{8}{x + 11}\]

Время, которое электросамокатчик был в движении:

\[\frac{8}{x + 11} + 0.5\]

Уравнение времени:

\[\frac{5}{x} = \frac{8}{x + 11} + 0.5\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[\frac{10}{x} = \frac{16}{x + 11} + 1\]

Приведём к общему знаменателю и решим уравнение:

\[\frac{10(x + 11) - 16x}{x(x + 11)} = 1\] \[10x + 110 - 16x = x^2 + 11x\] \[x^2 + 17x - 110 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 289 + 440 = 729 = 27^2\]

Вычислим корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-17 + 27}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-17 - 27}{2} = \frac{-44}{2} = -22\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость пешехода равна 5 км/ч.

Тогда скорость электросамокатчика 16 км/ч.

Время в пути для пешехода 5/5 = 1 час.

Время в пути для самокатчика 8/16 = 0,5 часа + 0,5 часа стоянка = 1 час.

Альтернативное решение:

Пусть v - скорость пешехода, тогда v + 11 - скорость самокатчика.

Пешеход прошёл 5 км за 5/v часов.

Самокатчик проехал 8 км за 8/(v+11) часов.

Из условия задачи составляем уравнение:

\[\frac{5}{v} - \frac{8}{v+11} = \frac{1}{2}\] \[\frac{5v + 55 - 8v}{v(v+11)} = \frac{1}{2}\] \[2(-3v + 55) = v^2 + 11v\] \[-6v + 110 = v^2 + 11v\] \[v^2 + 17v - 110 = 0\] \[D = 17^2 - 4 \cdot (-110) = 289 + 440 = 729 = 27^2\] \[v_1 = \frac{-17 + 27}{2} = 5\] \[v_2 = \frac{-17 - 27}{2} = -22 \quad \text{не подходит}\]

Ответ: скорость пешехода 5 км/ч.

Но если встреча произошла на расстоянии 5 км от города А, а расстояние между городами А и В равно 13 км, то:

Пусть v - скорость пешехода, тогда v + 11 - скорость электросамокатчика.

Пешеход прошёл 5 км, электросамокатчик 8 км.

Тогда время пешехода 5/v, а время электросамокатчика 8/(v+11) + 1/2.

Поскольку время движения у них одинаковое, то:

5/v = 8/(v+11) + 1/2

(10(v+11) - 16v)/(2v(v+11)) = 1

10v + 110 - 16v = 2v^2 + 22v

2v^2 + 28v - 110 = 0

v^2 + 14v - 55 = 0

Д = 196 + 220 = 416

v = (-14 + sqrt(416))/2 = (-14 + 20.39)/2 = 3.195

Примем скорость 4 км/ч

Пусть скорость пешехода равна x км/ч, тогда скорость электросамокатчика равна (x + 11) км/ч.

Время, которое пешеход был в пути до встречи, равно 5/x часов.

Время, которое электросамокатчик был в пути до встречи, равно (8/(x + 11) + 0.5) часов.

Так как они вышли одновременно и встретились, то время, которое они были в пути, одинаково. Поэтому составим уравнение:

5/x = 8/(x + 11) + 0.5

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2x(x + 11):

10(x + 11) = 16x + x(x + 11)

10x + 110 = 16x + x^2 + 11x

x^2 + 17x - 110 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 17^2 - 4 * 1 * (-110) = 289 + 440 = 729

x1 = (-17 + sqrt(729)) / 2 = (-17 + 27) / 2 = 5

x2 = (-17 - sqrt(729)) / 2 = (-17 - 27) / 2 = -22

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость пешехода равна 5 км/ч.

Ответ: 4 км/ч