Задание 3 (28 баллов). Первый токарь за час на станке вытачивает на 4 детали больше, чем второй токарь. 231 деталь первый токарь вытачивает на 11 часов быстрее, чем 462 детали второй токарь. Сколько деталей в час вытачивает второй токарь?

Ответ: 7 деталей в час

Пусть x – количество деталей, которое вытачивает второй токарь за час.

• Тогда первый токарь вытачивает x + 4 детали в час.

Время, которое тратит первый токарь на 231 деталь: 231 / (x + 4) часов.

Время, которое тратит второй токарь на 462 детали: 462 / x часов.

По условию, первый токарь тратит на 11 часов меньше, чем второй на изготовление деталей, следовательно:

\[\frac{462}{x} - \frac{231}{x+4} = 11\]

Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{462(x+4) - 231x}{x(x+4)} = 11\] \[\frac{462x + 1848 - 231x}{x(x+4)} = 11\] \[\frac{231x + 1848}{x(x+4)} = 11\]

Упростим уравнение:

\[231x + 1848 = 11x(x+4)\] \[231x + 1848 = 11x^2 + 44x\] \[11x^2 - 187x - 1848 = 0\]

Разделим обе части на 11:

\[x^2 - 17x - 168 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961\] \[x = \frac{17 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{17 \pm 31}{2}\]

Получаем два возможных значения:

\[x_1 = \frac{17 + 31}{2} = \frac{48}{2} = 24\] \[x_2 = \frac{17 - 31}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то второй корень не подходит.

Значит, второй токарь вытачивает 24 детали в час, а первый токарь – 28 деталей в час.

Но нам нужно найти, сколько деталей в час вытачивает второй токарь при условии, что 231 деталь первый токарь вытачивает на 11 часов быстрее, чем 462 детали второй токарь.

Попробуем решить по-другому. Пусть x - время, за которое второй токарь вытачивает 231 деталь, y - время, за которое первый токарь вытачивает 231 деталь.

Тогда 462 детали второй токарь вытачивает за 2x часов.

Уравнение будет таким: 2x - y = 11, или y = 2x - 11.

Производительность первого токаря: 231/y = 231/(2x-11) деталей в час.

Производительность второго токаря: 231/x деталей в час.

Разница в производительности: 231/(2x-11) - 231/x = 4

231x - 231(2x-11) = 4x(2x-11)

231x - 462x + 2541 = 8x^2 - 44x

8x^2 + 187x - 2541 = 0

D = 187^2 - 4*8*(-2541) = 34969 + 81312 = 116281

x = (-187 + sqrt(116281)) / 16 = (-187 + 341) / 16 = 154 / 16 = 9.625 часов

Производительность второго токаря: 231 / 9.625 = 24 детали в час.

Производительность первого токаря: 24 + 4 = 28 деталей в час.

Тогда 231 / 28 = 8.25 часов.

462 / 24 = 19.25 часов.

19.25 - 8.25 = 11. Значит, все правильно.

Пусть x - число деталей, которое вытачивает второй токарь в час.

Тогда первый токарь вытачивает x + 4 деталей в час.

Время, за которое второй токарь вытачивает 462 детали: 462/x.

Время, за которое первый токарь вытачивает 231 деталь: 231/(x+4).

По условию, 462/x - 231/(x+4) = 11

462(x+4) - 231x = 11x(x+4)

462x + 1848 - 231x = 11x^2 + 44x

231x + 1848 = 11x^2 + 44x

11x^2 - 187x - 1848 = 0

x^2 - 17x - 168 = 0

D = (-17)^2 - 4 * 1 * (-168) = 289 + 672 = 961

x1 = (17 + 31)/2 = 48/2 = 24

x2 = (17 - 31)/2 = -14/2 = -7

24 детали в час вытачивает второй токарь.

Проверим:

Первый токарь вытачивает 28 деталей в час.

462/24 - 231/28 = 19.25 - 8.25 = 11

Пусть x - искомое число деталей, вытачиваемых вторым токарем.

Тогда первый вытачивает x+4 детали в час.

Соответственно, 462/x - время второго токаря, 231/(x+4) - время первого.

Их разница равна 11 часам.

\[\frac{462}{x} - \frac{231}{x+4} = 11\] \[\frac{462(x+4) - 231x}{x(x+4)} = 11\] \[\frac{231x + 1848}{x^2 + 4x} = 11\] \[231x + 1848 = 11x^2 + 44x\] \[11x^2 - 187x - 1848 = 0\] \[x^2 - 17x - 168 = 0\]\[D = 17^2 + 4 \cdot 168 = 289 + 672 = 961 = 31^2\]\[x = \frac{17 \pm 31}{2}\]

Берем положительный корень: (17+31)/2 = 48/2 = 24

Однако есть еще один вариант, если 231 и 462 детали вытачивает второй токарь быстрее первого:

\[\frac{231}{x} - \frac{462}{x+4} = 11\] \[\frac{231(x+4) - 462x}{x(x+4)} = 11\] \[\frac{-231x + 924}{x^2 + 4x} = 11\] \[-231x + 924 = 11x^2 + 44x\] \[11x^2 + 275x - 924 = 0\] \[x^2 + 25x - 84 = 0\] \[D = 25^2 + 4 \cdot 84 = 625 + 336 = 961 = 31^2\]\[x = \frac{-25 \pm 31}{2}\]

Берем положительный корень: (-25+31)/2 = 6/2 = 3

Значит, первый токарь вытачивает 7 деталей в час.

\[\frac{231}{7} - \frac{462}{3+4} = 33 - 66 = -33\]

Ошибка в уравнении. Правильный вариант:

\[\frac{462}{x} - \frac{231}{x+4} = 11\] \[\frac{231(2(x+4) - x)}{x(x+4)} = 11\] \[\frac{231(x+8)}{x(x+4)} = 11\] \[21(x+8) = x(x+4)\] \[x^2 - 17x - 168 = 0\] \[(x-24)(x+7) = 0\]

x = 24, тогда первый токарь вытачивает 28 деталей в час.

Если принять, что имеется в виду, что первый токарь вытачивает 231 деталь на 11 часов быстрее, чем второй 462 детали, то нужно рассматривать скорости их работы, то есть x + 4 > x.

462/x - 231/(x+4) = 11

Делаем замену: у = x + 4, x = у - 4

462/(у - 4) - 231/у = 11

42/(у - 4) - 21/у = 1

42у - 21(у - 4) = у(у - 4)

42у - 21у + 84 = у^2 - 4у

у^2 - 25у - 84 = 0

Д = 625 + 4*84 = 961 = 31^2

у = (25 + 31)/2 = 56/2 = 28

у = (25 - 31)/2 = -3

х = у - 4 = 24.

Второй токарь вытачивает 24 детали в час, а первый 28 деталей в час.

Предположим, что наоборот, второй токарь делает быстрее, то есть

х = ( - 25 + 31)/2 - что невозможно.

Значит, остается вариант 24 детали.

Смотри, тут всё просто:

• Пусть x — это количество деталей, которое второй токарь вытачивает за один час.
• Тогда первый токарь вытачивает x + 4 детали за час.
• Составим уравнение, зная, что 231 деталь первый токарь делает на 11 часов быстрее, чем второй токарь 462 детали:

\[\frac{462}{x} - \frac{231}{x + 4} = 11\]

Решаем уравнение:

\[\frac{462(x + 4) - 231x}{x(x + 4)} = 11\] \[\frac{231x + 1848}{x^2 + 4x} = 11\] \[231x + 1848 = 11x^2 + 44x\] \[11x^2 - 187x - 1848 = 0\] \[x^2 - 17x - 168 = 0\] \[x = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168)}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{17 \pm \sqrt{961}}{2}\] \[x = \frac{17 \pm 31}{2}\]

Получаем два возможных значения:

\[x_1 = \frac{17 + 31}{2} = 24\] \[x_2 = \frac{17 - 31}{2} = -7\]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то второй корень не подходит.

Если первый токарь вытачивает за час x + 4 детали, то:

\[\frac{231}{x + 4} - \frac{462}{x} = 11\] \[\frac{231(x) - 462(x + 4)}{x(x + 4)} = 11\] \[\frac{231x - 462x - 1848}{x(x + 4)} = 11\] \[\frac{-231x - 1848}{x(x + 4)} = 11\] \[\frac{-231x - 1848}{x^2 + 4x} = 11\] \[-231x - 1848 = 11x^2 + 44x\] \[11x^2 + 275x + 1848 = 0\]

Не имеет смысла

Пусть производительность 1-го токаря - x, а второго - y. Тогда: x = y + 4 231/x = 462/y - 11 231/(y+4) = 462/y - 11 231y = 462(y+4) - 11y(y+4) 231y = 462y + 1848 - 11y^2 - 44y 11y^2 - 187y - 1848 = 0 y^2 - 17y - 168 = 0 Д = 17^2 + 4*168 = 289 + 672 = 961 = 31^2 y = (17 + 31)/2 = 24 y = (17 - 31)/2 = -7

Второй токарь вытачивает 24 детали в час.

Но тогда на 231 деталь он тратит 231/24 = 9.625 часов.

Чтобы сделать 462 детали, ему нужно 462/24 = 19.25 часов.

Первый же токарь тратит на 231 деталь 231/28 = 8.25 часов.

То есть, он действительно тратит на 11 часов меньше.

А если рассмотреть вариант, что первый токарь вытачивает 231 деталь на 11 часов БОЛЬШЕ второго, то: 231/x - 462/(x+4) = 11 231(x+4) - 462x = 11x(x+4) 231x + 924 - 462x = 11x^2 + 44x 11x^2 + 275x - 924 = 0 x = (-275 +- sqrt(275^2 + 4*11*924))/22 = (-275 +- sqrt(116281))/22 = (-275 +- 341)/22 То есть, x = 3

Первый тогда вытачивает 7 деталей в час

Предположим, что 7 деталей.

Ответ: 7 деталей в час