4) Задана окружность с центром О и прямая ВК пересекающая окружность в точках В и К. Найдите расстояние от О до прямой ВК, если ВК = 12 см, угол ВОК = 90°

Пусть О - центр окружности, BK - хорда, которая пересекает окружность в точках B и K. Расстояние от точки O до прямой BK - это перпендикуляр, опущенный из точки O на хорду BK. Обозначим эту точку H.

Так как угол BOK равен 90 градусам, треугольник BOK - равнобедренный прямоугольный треугольник (OB = OK - радиусы окружности).

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Следовательно, OH - медиана, а значит, BH = HK = BK / 2.

$$BH = HK = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$

Так как OH - биссектриса, угол BOH равен половине угла BOK:

$$∠BOH = \frac{∠BOK}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BOH. В нем угол BOH равен 45 градусам, а BH = 6 см. Поскольку это равнобедренный прямоугольный треугольник (∠BOH = 45°), то OH = BH.

$$OH = BH = 6 \text{ см}$$

Ответ: 6 см