Задачи №12. Условия №12.2 (Сибирь, не подтверждено) Найдите точку максимума функции y = log₂(2 + 2x - x²) - 2.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = \text{log}_2(2 + 2x - x^2) - 2 \) нам нужно найти точку максимума для выражения под логарифмом, так как логарифмическая функция \( \text{log}_2(u) \) является возрастающей, и её максимум достигается там же, где и максимум аргумента \( u \).

Рассмотрим функцию под логарифмом: \( u(x) = 2 + 2x - x^2 \).

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) равен -1). Максимум этой функции достигается в вершине параболы.

Координата \( x \) вершины параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \).

В данном случае \( a = -1 \) и \( b = 2 \).

\[ x_{\text{вершины}} = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1 \]

Теперь найдем значение функции \( y \) при \( x = 1 \):

\[ u(1) = 2 + 2(1) - (1)^2 = 2 + 2 - 1 = 3 \]

Значит, максимальное значение выражения под логарифмом равно 3.

Максимальное значение функции \( y \) будет:

\[ y_{\text{макс}} = \text{log}_2(3) - 2 \]

Точка максимума функции — это значение \( x \), при котором достигается максимум.

Ответ: Точка максимума функции находится при x = 1.