Задачи №11. Условия №11.1 (Сибирь) На рисунке изображён график функции f(x) = ax² + bx + c, где числа а. б и с — целые. Найдите значение f(-1).

Решение:

По графику определим координаты точек, через которые проходит парабола:

• Вершина параболы находится в точке \( (-1, -3) \).
• Парабола проходит через точки \( (0, -2) \) и \( (-2, -2) \).
• Также видны точки \( (1, 1) \) и \( (-3, 1) \).

Запишем уравнение параболы через вершину: \( f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 \).

Подставим координаты вершины \( (-1, -3) \):

\[ f(x) = a(x - (-1))^2 + (-3) \]

\[ f(x) = a(x + 1)^2 - 3 \]

Теперь подставим координаты другой точки, например \( (0, -2) \), чтобы найти \( a \):

\[ -2 = a(0 + 1)^2 - 3 \]

\[ -2 = a(1)^2 - 3 \]

\[ -2 = a - 3 \]

\[ a = -2 + 3 = 1 \]

Итак, уравнение параболы:

\[ f(x) = 1(x + 1)^2 - 3 \]

\[ f(x) = (x^2 + 2x + 1) - 3 \]

\[ f(x) = x^2 + 2x - 2 \]

Мы получили \( a=1, b=2, c=-2 \). Это целые числа, что соответствует условию.

Теперь найдём значение \( f(-1) \) по графику. Вершина параболы находится в точке \( (-1, -3) \), следовательно \( f(-1) = -3 \).

Проверим, подставив \( x = -1 \) в найденное уравнение:

\[ f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3 \]

Ответ: f(-1) = -3.