Задача 6 Найдите объем / части цилиндра, изображенной на рисунке. V В ответе укажите -

Ответ: 30

Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра.

В данном случае у нас есть часть цилиндра с углом \(108^\circ\) и высотой \(5\).

Найдем радиус цилиндра. Так как диаметр равен 10, то радиус равен 5. Высота цилиндра равна 5.

Тогда объем всей части цилиндра:

\[V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45 \pi\]

Но у нас только часть цилиндра, соответствующая углу \(108^\circ\).

Найдем, какую часть от полного цилиндра составляет данная часть:

\[\frac{108^\circ}{360^\circ} = \frac{108}{360} = \frac{54}{180} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}\]

Тогда объем части цилиндра:

\[V_{части} = \frac{3}{10} \cdot V_{цилиндра} = \frac{3}{10} \cdot \pi \cdot 10 \cdot 3 \cdot 5 = \frac{3}{10} \cdot 45 \pi = 13.5 \pi\]

Теперь найдем \(\frac{V}{\pi}\):

\[\frac{V}{\pi} = \frac{13.5 \pi}{\pi} = 13.5\]

Вычисляем объем V части цилиндра, изображенной на рисунке, и укажем \(\frac{V}{\pi}\).

По рисунку определим радиус цилиндра: так как отрезок равен 6, значит радиус основания \(r = 3\). Высота h цилиндра равна 5.

Полный объем цилиндра равен: \(V_{полн} = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 5 = 180 \pi\).

Рассмотрим часть цилиндра. Угол сектора равен \(60^\circ\). Тогда объем этой части составит \(\frac{60}{360} = \frac{1}{6}\) от полного объема.

Значит, объем части цилиндра равен: \(V = \frac{1}{6} V_{полн} = \frac{1}{6} \cdot 180\pi = 30\pi\).

Определим \(\frac{V}{\pi}\):

\[\frac{V}{\pi} = \frac{30\pi}{\pi} = 30\]

Тогда \(\frac{V}{\pi} = 30\)

Ответ: 30