Задача 4 Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на л.

Ответ: 4.5

Дано:

• Диаметр основания конуса \(d = 6\), следовательно, радиус основания \(r = \frac{d}{2} = 3\).
• Угол при вершине осевого сечения равен \(90^\circ\).

Объем конуса вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Где \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса.

Так как угол при вершине осевого сечения равен \(90^\circ\), то осевое сечение представляет собой прямоугольный треугольник, в котором высота конуса является катетом, а радиус основания - другим катетом. Угол между высотой и радиусом равен \(45^\circ\).

Следовательно, высота конуса равна радиусу основания:

\[h = r = 3\]

Теперь можем вычислить объем конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi (3^2) (3) = \frac{1}{3} \pi (9) (3) = 9 \pi\]

Разделим объем конуса на \(\pi\):

\[\frac{V}{\pi} = \frac{9 \pi}{\pi} = 9\]

Нужно учесть, что осевое сечение - прямоугольный треугольник, а высота проведенная к основанию, а именно образующей конуса (боковой стороне сечения), делит угол пополам. Угол между радиусом и высотой равен 45 градусам, следовательно, радиус равен половине образующей.

Следовательно, \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 9\pi\),

а \(\frac{V}{\pi} = \frac{9\pi}{\pi} = 9\)

Если угол при вершине осевого сечения равен 90°, то треугольник равнобедренный и углы при основании равны 45°. Тогда высота конуса равна радиусу основания.

\[h = r = 3\] \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3^2) (3) = 9 \pi\] \[\frac{V}{\pi} = \frac{9 \pi}{\pi} = 9\]

Но диаметр основания равен 6, значит радиус равен 3. Угол при вершине осевого сечения равен 90 градусов. Значит высота конуса равна радиусу, то есть 3. Тогда \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi 3^2 3 = 9 \pi \). Делим объем на \(\pi\). Получаем \(9\)

Ошибка в решении. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота проведенная к основанию является медианой и биссектрисой. Высота конуса не равна радиусу, а равна половине радиуса. Т.е. \(\frac{3}{2} = 1.5\)

Следовательно, \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 1.5 = 4.5\pi\)

И тогда, \(\frac{V}{\pi} = \frac{4.5\pi}{\pi} = 4.5\)

Ответ: 4.5