Задача 9. Сократите дроби: а) 37373737 / 81818181; б) 609609609 / 205205205

Разберем каждую дробь:

а) 37373737 / 81818181

Заметим, что числитель и знаменатель состоят из повторяющихся цифр.

Числитель: 37373737 = 37 * 1010101

Знаменатель: 81818181 = 81 * 1010101

Теперь дробь выглядит так: (37 * 1010101) / (81 * 1010101)

Можно сократить на 1010101:

37 / 81

б) 609609609 / 205205205

Числитель: 609609609 = 609 * 1001001

Знаменатель: 205205205 = 205 * 1001001

Теперь дробь выглядит так: (609 * 1001001) / (205 * 1001001)

Можно сократить на 1001001:

609 / 205

Теперь попробуем сократить 609 и 205. Оба числа делятся на 3?

6 + 0 + 9 = 15 (делится на 3)

2 + 0 + 5 = 7 (не делится на 3)

Попробуем другие делители. Оба числа заканчиваются на 9 и 5, значит, они не делятся на 2 или 5. Попробуем 7:

609 / 7 = 87

205 / 7 = 29.28 (не делится)

Попробуем 101, 1001, 10001...

Заметим, что 609 = 3 * 7 * 29

205 = 5 * 41

Знаменатель 609609609 = 609 * 1001001 = (3 * 7 * 29) * (3 * 7 * 13 * 37)

Знаменатель 205205205 = 205 * 1001001 = (5 * 41) * (3 * 7 * 13 * 37)

Похоже, что 609 и 205 не имеют общих делителей, кроме 1. Хотя, 1001001 = 1001 * 1000 + 1001 = 1001 * 1001. Нет, это не так.

1001001 = 1001 * 1000 + 1001 = 1001 * (1000 + 1) = 1001 * 1001.

1001 = 7 * 11 * 13.

Итак, 609609609 = 609 * 7 * 11 * 13 * 37

205205205 = 205 * 7 * 11 * 13 * 37

Мы можем сократить на 7 * 11 * 13 * 37 = 1001001.

Остается 609 / 205.

609 = 3 * 7 * 29

205 = 5 * 41

Общих делителей нет. Значит, дробь 609/205 не сокращается дальше.

Ответ:

а) 37/81

б) 609/205