Задача 3: В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°. Найдите высоту, проведённую к основанию, если боковая сторона равна 52 см.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине \( \angle B = 120^{\circ} \). Боковая сторона \( AB = BC = 52 \) см.

Проведём высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и биссектрисой, и медианой.

Следовательно, \( \angle ABH = \angle CBH = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} x 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол \( \angle BAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

\( BH = AB x \sin(\angle BAH) = 52 \u0078 \sin(30^{\circ}) = 52 x \frac{1}{2} = 26 \) см.

Альтернативный способ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол \( \angle ABH = 60^{\circ} \).

\( BH = AB x \cos(\angle ABH) = 52 x \cos(60^{\circ}) = 52 x \frac{1}{2} = 26 \) см.

Ответ: 26 см.