Задача 14. Из посёлка в город выехал велосипедист со скоростью 18 км/ч. Одновременно с ним из того же посёлка в город выехал мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше. Доехав до города, мотоциклист сразу поехал обратно и через 20 минут после разворота встретил велосипедиста. Сколько километров от посёлка до города? Обоснуйте ответ.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем скорость мотоциклиста.
   Скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста: \( 18 \text{ км/ч} \times 3 = 54 \text{ км/ч} \).
2. Шаг 2: Обозначаем расстояние от посёлка до города переменной S.
3. Шаг 3: Обозначаем время в пути велосипедиста до встречи как \( t \) часов.
4. Шаг 4: Обозначаем время в пути мотоциклиста до встречи. Мотоциклист доехал до города (время \( S/54 \)), развернулся и ехал обратно 20 минут (\( 20/60 = 1/3 \) часа) до встречи с велосипедистом.
   Время мотоциклиста = \( \frac{S}{54} + \frac{1}{3} \) часов.
5. Шаг 5: Выражаем расстояние, которое проехал велосипедист до встречи.
   Расстояние = скорость × время: \( 18 \text{ км/ч} \times t \).
6. Шаг 6: Выражаем расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи.
   Расстояние = скорость × время: \( 54 \times (\frac{S}{54} + \frac{1}{3}) = S + 18 \) км.
7. Шаг 7: Составляем уравнение. До момента встречи оба проехали одинаковое расстояние от посёлка, если считать путь мотоциклиста до города и обратно.
   \( 18t = S + 18 \).
8. Шаг 8: Выражаем время \( t \) через \( S \). Время велосипедиста равно времени, которое он ехал до встречи.
   \( t = \frac{S}{18} \).
9. Шаг 9: Подставляем \( t \) в уравнение из Шага 7.
   \( 18 \times \frac{S}{18} = S + 18 \).
   \( S = S + 18 \).
   Тут есть ошибка в логике. Вернемся к уравнению:
   Мотоциклист проехал расстояние S до города, потом ехал обратно 1/3 часа со скоростью 54 км/ч. Общее расстояние, пройденное мотоциклистом до встречи = \( S + 54 \times \frac{1}{3} = S + 18 \) км.
   Велосипедист проехал расстояние S до города. Чтобы понять, где они встретились, нужно учесть, что оба едут из одного посёлка.
   Пусть время до встречи будет \( t_{встр} \).
   Велосипедист проехал: \( S_в = 18 \times t_{встр} \).
   Мотоциклист проехал: \( S_м = 54 \times (t_{встр} - \frac{1}{3}) \) (он ехал \( \frac{1}{3} \) часа меньше, так как добрался до города раньше и развернулся).
   Они встретились на расстоянии \( S_в \) от посёлка.
   Расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи, равно \( S \) (до города) + \( 54 \times \frac{1}{3} \) (от города обратно).
   Получается: \( S_в = S_м \) (расстояние от посёлка до места встречи).
   \( 18 \times t_{встр} = S \) (расстояние, которое мотоциклист проехал от города обратно до места встречи).
   Время, за которое мотоциклист добрался до города: \( t_{мото} = \frac{S}{54} \).
   Общее время мотоциклиста до встречи: \( t_{мото} + \frac{1}{3} = \frac{S}{54} + \frac{1}{3} \).
   Велосипедист ехал \( t_{встр} \) часов.
   Расстояние, которое проехал велосипедист: \( 18 \times t_{встр} \).
   Расстояние, которое проехал мотоциклист: \( S \) (до города) + \( 54 \times \frac{1}{3} \) (обратно).
   Итоговое уравнение: \( 18 \times t_{встр} = S \) (путь велосипедиста до места встречи).
   Мотоциклист проехал \( S \) до города, и \( 54 \times \frac{1}{3} = 18 \) км обратно.
   Они встретились в точке, откуда велосипедист проехал \( 18 imes t_{встр} \) км.
   Мотоциклист проехал \( S \) до города, развернулся и проехал \( 18 \) км обратно.
   Расстояние от посёлка до города - S.
   Скорость мотоциклиста = 54 км/ч.
   Скорость велосипедиста = 18 км/ч.
   Время мотоциклиста до встречи = \( \frac{S}{54} + \frac{1}{3} \).
   Время велосипедиста до встречи = \( \frac{S}{18} \).
   Они встретились. Это значит, что расстояние от посёлка до места встречи для обоих одинаково.
   \( 18 imes \frac{S}{18} = S \) - это расстояние, которое проехал велосипедист.
   Мотоциклист проехал \( S \) до города, и \( 54 \times \frac{1}{3} = 18 \) км обратно.
   Если они встретились, то сумма пройденных ими расстояний от посёлка до места встречи равна общему расстоянию, которое они преодолели.
   Путь велосипедиста: \( 18t \).
   Путь мотоциклиста: \( 54(t - 1/3) \) - это путь, если бы он ехал от посёлка.
   Правильнее так:
   Пусть S - расстояние от посёлка до города.
   Время велосипедиста до встречи: \( t_в = S/18 \).
   Время мотоциклиста до города: \( t_{м_город} = S/54 \).
   Время мотоциклиста после разворота до встречи: \( 1/3 \) часа.
   Общее время мотоциклиста: \( t_м = S/54 + 1/3 \).
   В момент встречи велосипедист проехал \( 18 imes t_м \) = \( 18 imes (S/54 + 1/3) \) = \( S/3 + 6 \) км.
   Мотоциклист проехал \( S \) км до города, и \( 54 imes 1/3 = 18 \) км обратно.
   Они встретились. Значит, расстояние от посёлка до места встречи для велосипедиста равно расстоянию, которое проехал мотоциклист ОТ города НАЗАД.
   \( S/3 + 6 = 18 \)
   \( S/3 = 18 - 6 \)
   \( S/3 = 12 \)
   \( S = 12 imes 3 = 36 \) км.
10. Проверка:
    Расстояние S = 36 км.
    Скорость мотоциклиста = 54 км/ч.
    Время мотоциклиста до города = \( 36/54 = 2/3 \) часа.
    Мотоциклист едет обратно 1/3 часа.
    Пройденное мотоциклистом расстояние обратно = \( 54 imes 1/3 = 18 \) км.
    Место встречи от города = 18 км.
    Место встречи от посёлка = \( 36 - 18 = 18 \) км.
    Время велосипедиста до встречи = \( 18 \text{ км} / 18 \text{ км/ч} = 1 \) час.
    Время мотоциклиста до встречи = \( 2/3 \text{ часа} \) (до города) + \( 1/3 \text{ часа} \) (обратно) = 1 час.
    Время совпадает.

Ответ: Расстояние от посёлка до города составляет 36 км.