Задача 14.11. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение:

Высота прыжков мячика образует геометрическую прогрессию. Высота каждого следующего прыжка в 2 раза меньше предыдущего, значит, знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \).

Начальная высота прыжка \( h_1 = 5,6 \text{ м} \).

Нам нужно найти, при каком номере прыжка \( n \) высота \( h_n \) станет меньше 20 см. Сначала переведем все величины в одну единицу измерения. Удобнее использовать сантиметры:

• Начальная высота: \( h_1 = 5,6 \text{ м} = 560 \text{ см} \).
• Целевая высота: \( 20 \text{ см} \).

Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).

Нам нужно найти наименьшее \( n \), при котором \( h_n < 20 \text{ см} \).

Подставим значения:

\( 560 \text{ см} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 20 \text{ см} \)

Разделим обе части на 560:

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{20}{560} \)

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{28} \)

Чтобы \( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \) было меньше \( \frac{1}{28} \), показатель степени \( n-1 \) должен быть таким, чтобы \( 2^{n-1} \) было больше 28.

Проверим степени двойки:

• \( 2^1 = 2 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^4 = 16 \)
• \( 2^5 = 32 \)

Наименьшее значение \( n-1 \), при котором \( 2^{n-1} > 28 \), равно 5.

Значит, \( n-1 = 5 \). Отсюда \( n = 5 + 1 = 6 \).

Проверим:

• 1-й прыжок: \( h_1 = 560 \text{ см} \)
• 2-й прыжок: \( h_2 = 560 \times \frac{1}{2} = 280 \text{ см} \)
• 3-й прыжок: \( h_3 = 280 \times \frac{1}{2} = 140 \text{ см} \)
• 4-й прыжок: \( h_4 = 140 \times \frac{1}{2} = 70 \text{ см} \)
• 5-й прыжок: \( h_5 = 70 \times \frac{1}{2} = 35 \text{ см} \)
• 6-й прыжок: \( h_6 = 35 \times \frac{1}{2} = 17.5 \text{ см} \)

На 6-м прыжке высота составит 17.5 см, что меньше 20 см.

Ответ: 6.