Задача:10 Какова вероятность, что при бросании 12 раз игральной кости 4 очка выпадут ровно 4 раза?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. При бросании игральной кости есть 6 исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6). Вероятность выпадения '4 очка' \( p = \frac{1}{6} \). Вероятность невыпадения '4 очка' \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \). Количество испытаний \( n = 12 \). Количество успехов (выпадение '4 очка') \( k = 4 \).

Формула биномиальной вероятности:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

1. Вычислим число сочетаний \( C_{12}^4 \): \[ C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \]
2. Подставим значения в формулу: \[ P(X=4) = 495 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{12-4} = 495 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^8 \]
3. Вычислим степени: \( (\frac{1}{6})^4 = \frac{1}{1296} \), \( (\frac{5}{6})^8 = \frac{390625}{1679616} \)
4. Вычислим итоговую вероятность: \[ P(X=4) = 495 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{390625}{1679616} = \frac{495 \times 390625}{1296 \times 1679616} = \frac{193359375}{2176782336} \]
5. Приблизительное значение: \( \frac{193359375}{2176782336} \approx 0.08882 \)

Ответ: \(\approx 0.0888 \)