Задача 1. Вероятность того, что наудачу выбранный студент сдаст экзамен с первого раза, равна 0,7. Найти вероятность того, что из 200 студентов экзамен сдадут с первого раза ровно 145 человек.

Число студентов, сдавших экзамен, имеет биномиальное распределение: \(X\sim B(200;0.7)\).

Используем локальную теорему Муавра—Лапласа: \(np=140\), \(npq=200\cdot0.7\cdot0.3=42\), где \(q=1-p\).

\[P(X=145)\approx\frac{1}{\sqrt{npq}}\,\varphi\!\left(\frac{145-np}{\sqrt{npq}}\right)=\frac{1}{\sqrt{42}}\,\varphi\!\left(\frac{5}{\sqrt{42}}\right)\approx0.0475.\]

Ответ: примерно 0,0475.