Задача 30-2. Катер прошел по течению реки расстояние от А до В за 3 часа, а от В до А - за 5 часов. За сколько часов проплывет от А до В плот?

Обозначим расстояние между пунктами А и В через S, скорость катера в стоячей воде через v, а скорость течения реки через u. При движении по течению реки скорость катера увеличивается на скорость течения, поэтому скорость катера по течению равна (v + u). При движении против течения скорость катера уменьшается на скорость течения, поэтому скорость катера против течения равна (v - u). Из условия задачи известно, что катер проходит расстояние S по течению за 3 часа, а против течения за 5 часов. Получаем следующие уравнения: $$S = 3(v + u)$$ $$S = 5(v - u)$$ Так как обе части уравнений равны S, приравняем их: $$3(v + u) = 5(v - u)$$ Раскроем скобки: $$3v + 3u = 5v - 5u$$ Перенесем слагаемые с v в одну сторону, а с u в другую: $$8u = 2v$$ Выразим v через u: $$v = 4u$$ Теперь выразим расстояние S через скорость течения u: $$S = 3(4u + u) = 3 \cdot 5u = 15u$$ Плот плывет только за счет скорости течения реки, поэтому его скорость равна u. Время, за которое плот проплывет расстояние S от А до В, равно: $$t = \frac{S}{u} = \frac{15u}{u} = 15$$ Ответ: Плот проплывет от А до В за 15 часов.