Задача 3. (20 баллов) Решить уравнение: 1 x+2 x2-9 2 x2-x-6 x-3

Исходное уравнение:

\[\frac{1}{x+2} - \frac{x^2-9}{x^2-x-6} = \frac{2}{x-3}\]

Разложим знаменатель второй дроби:

x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Теперь уравнение выглядит так:

\[\frac{1}{x+2} - \frac{x^2-9}{(x-3)(x+2)} = \frac{2}{x-3}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(x-3) - (x^2-9)}{(x+2)(x-3)} = \frac{2}{x-3}\]

Умножим обе части на (x-3), при условии x ≠ 3:

\[\frac{x-3 - (x^2-9)}{x+2} = 2\] \[\frac{x-3 - x^2 + 9}{x+2} = 2\] \[\frac{-x^2 + x + 6}{x+2} = 2\]

Умножим обе части на (x+2), при условии x ≠ -2:

-x² + x + 6 = 2(x+2)

-x² + x + 6 = 2x + 4

-x² - x + 2 = 0

x² + x - 2 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

√D = 3

x₁ = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2 (не подходит, так как x ≠ -2)

Ответ: x = 1