Задача 4. (20 баллов) Найти все решения уравнения x² + 4xy + 13y² - 6ay + a2 = 0

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x:

x² + 4xy + 13y² - 6ay + a² = 0

ax² + bx + c = 0, где a = 1, b = 4y, c = 13y² - 6ay + a²

Найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (4y)² - 4 * 1 * (13y² - 6ay + a²) = 16y² - 52y² + 24ay - 4a² = -36y² + 24ay - 4a²

D = -4(9y² - 6ay + a²) = -4(3y - a)²

Чтобы уравнение имело решения, необходимо чтобы D ≥ 0

-4(3y - a)² ≥ 0

(3y - a)² ≤ 0

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то (3y - a)² = 0

3y - a = 0

3y = a

y = a/3

Подставим y = a/3 в исходное уравнение:

x² + 4x(a/3) + 13(a/3)² - 6a(a/3) + a² = 0

x² + (4ax/3) + (13a²/9) - 2a² + a² = 0

x² + (4ax/3) + (13a²/9) - a² = 0

x² + (4ax/3) + (13a²/9) - (9a²/9) = 0

x² + (4ax/3) + (4a²/9) = 0

(x + (2a/3))² = 0

x + (2a/3) = 0

x = -2a/3

Ответ: x = -2a/3, y = a/3