Задача 2. (20 баллов) Найти значение выражения (2√3y y-√3 +2(y+√3))⋅2√3y²-6y y + √3 при у = 17/√3

Преобразуем выражение:

\[\left(\frac{2\sqrt{3}y}{y^2-3} + \frac{y-\sqrt{3}}{2(y+\sqrt{3})}\right) \cdot \frac{2\sqrt{3}y^2-6y}{y+\sqrt{3}}\]

Разложим знаменатель первой дроби: y² - 3 = (y - √3)(y + √3)

\[\left(\frac{2\sqrt{3}y}{(y-\sqrt{3})(y+\sqrt{3})} + \frac{y-\sqrt{3}}{2(y+\sqrt{3})}\right) \cdot \frac{2\sqrt{3}y^2-6y}{y+\sqrt{3}}\]

Приведем к общему знаменателю в скобках:

\[\left(\frac{4\sqrt{3}y + (y-\sqrt{3})^2}{2(y-\sqrt{3})(y+\sqrt{3})}\right) \cdot \frac{2\sqrt{3}y^2-6y}{y+\sqrt{3}}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\left(\frac{4\sqrt{3}y + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3}{2(y-\sqrt{3})(y+\sqrt{3})}\right) \cdot \frac{2\sqrt{3}y^2-6y}{y+\sqrt{3}}\] \[\left(\frac{y^2 + 2\sqrt{3}y + 3}{2(y-\sqrt{3})(y+\sqrt{3})}\right) \cdot \frac{2\sqrt{3}y^2-6y}{y+\sqrt{3}}\]

Заметим, что числитель в скобках это полный квадрат: (y + √3)²

\[\frac{(y + \sqrt{3})^2}{2(y-\sqrt{3})(y+\sqrt{3})} \cdot \frac{2\sqrt{3}y(y-\sqrt{3})}{y+\sqrt{3}}\]

Сократим (y + √3) и (y - √3):

\[\frac{(y + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}y}{y+\sqrt{3}} = \sqrt{3}y\]

Подставим y = 17/√3:

\[\sqrt{3} \cdot \frac{17}{\sqrt{3}} = 17\]

Ответ: 17