7. y = √x ⋅ (4x + 3)

7. Дано: $$y = \sqrt{x} \cdot (4x + 3)$$. Найти производную $$y'$$.

Решение:

1. Представим корень как степень: $$\sqrt{x} = x^{1/2}$$.
2. Производная произведения: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$.
3. Производная степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$.

Находим производную:

$$y' = (x^{1/2} (4x + 3))' = (x^{1/2})' (4x + 3) + (x^{1/2}) (4x + 3)' = \frac{1}{2} x^{-1/2} (4x + 3) + x^{1/2} (4) = \frac{4x + 3}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x} = \frac{4x + 3 + 8x}{2\sqrt{x}} = \frac{12x + 3}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $$y' = \frac{12x + 3}{2\sqrt{x}}$$