(x + 1)(x + 6)(x - 4) ≤ 0

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

• $$x + 1 = 0$$, откуда $$x = -1$$
• $$x + 6 = 0$$, откуда $$x = -6$$
• $$x - 4 = 0$$, откуда $$x = 4$$

2. Отметим найденные точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, точки будут закрашенными.

----------------[   ]----------------[   ]----------------[   ]----------------
              -6                      -1                      4

3. Определим знаки на каждом интервале. Возьмем число из каждого интервала и подставим в исходное неравенство:

• Интервал $$(-\infty; -6]$$: Возьмем $$x = -7$$. Тогда $$(-7 + 1)(-7 + 6)(-7 - 4) = (-6)(-1)(-11) = -66 < 0$$. Знак на интервале: -
• Интервал $$[-6; -1]$$: Возьмем $$x = -2$$. Тогда $$(-2 + 1)(-2 + 6)(-2 - 4) = (-1)(4)(-6) = 24 > 0$$. Знак на интервале: +
• Интервал $$[-1; 4]$$: Возьмем $$x = 0$$. Тогда $$(0 + 1)(0 + 6)(0 - 4) = (1)(6)(-4) = -24 < 0$$. Знак на интервале: -
• Интервал $$[4; +\infty)$$: Возьмем $$x = 5$$. Тогда $$(5 + 1)(5 + 6)(5 - 4) = (6)(11)(1) = 66 > 0$$. Знак на интервале: +

--------(-)--------[ -6 ]--------(+)--------[ -1 ]--------(-)--------[ 4 ]--------(+)--------

4. Выберем интервалы, где функция меньше или равна нулю (знак -).

Решением неравенства является объединение интервалов $$(-\infty; -6] \cup [-1; 4]$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -6] \cup [-1; 4]$$.