(x + 5)(x - 7)(3x - 1) > 0

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

• $$x + 5 = 0$$, откуда $$x = -5$$
• $$x - 7 = 0$$, откуда $$x = 7$$
• $$3x - 1 = 0$$, откуда $$3x = 1$$, $$x = \frac{1}{3}$$

2. Отметим найденные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

----------------(   )----------------(   )----------------(   )----------------
              -5                      1/3                    7

3. Определим знаки на каждом интервале. Возьмем число из каждого интервала и подставим в исходное неравенство:

• Интервал $$(-\infty; -5)$$: Возьмем $$x = -6$$. Тогда $$(-6 + 5)(-6 - 7)(3(-6) - 1) = (-1)(-13)(-18 - 1) = (-1)(-13)(-19) = -247 < 0$$. Знак на интервале: -
• Интервал $$(-5; \frac{1}{3})$$: Возьмем $$x = 0$$. Тогда $$(0 + 5)(0 - 7)(3(0) - 1) = (5)(-7)(-1) = 35 > 0$$. Знак на интервале: +
• Интервал $$(\frac{1}{3}; 7)$$: Возьмем $$x = 1$$. Тогда $$(1 + 5)(1 - 7)(3(1) - 1) = (6)(-6)(3 - 1) = (6)(-6)(2) = -72 < 0$$. Знак на интервале: -
• Интервал $$(7; +\infty)$$: Возьмем $$x = 8$$. Тогда $$(8 + 5)(8 - 7)(3(8) - 1) = (13)(1)(24 - 1) = (13)(1)(23) = 299 > 0$$. Знак на интервале: +

--------(-)--------( -5 )--------(+)--------( 1/3 )--------(-)--------( 7 )--------(+)--------

4. Выберем интервалы, где функция больше нуля (знак +).

Решением неравенства является объединение интервалов $$(-5; \frac{1}{3}) \cup (7; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-5; \frac{1}{3}) \cup (7; +\infty)$$.