(x - 4x²) (x - 1) > 0

Решим неравенство методом интервалов.

1. Преобразуем выражение: $$x(1 - 4x)(x - 1) > 0$$.

2. Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

• $$x = 0$$
• $$1 - 4x = 0$$, откуда $$4x = 1$$, $$x = \frac{1}{4}$$
• $$x - 1 = 0$$, откуда $$x = 1$$

3. Отметим найденные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

----------------(   )----------------(   )----------------(   )----------------
              0                      1/4                    1

4. Определим знаки на каждом интервале. Возьмем число из каждого интервала и подставим в исходное неравенство:

• Интервал $$(-\infty; 0)$$: Возьмем $$x = -1$$. Тогда $$(-1)(1 - 4(-1))(-1 - 1) = (-1)(1 + 4)(-2) = (-1)(5)(-2) = 10 > 0$$. Знак на интервале: +
• Интервал $$(0; \frac{1}{4})$$: Возьмем $$x = \frac{1}{8}$$. Тогда $$\frac{1}{8}(1 - 4(\frac{1}{8}))(\frac{1}{8} - 1) = \frac{1}{8}(1 - \frac{1}{2})(-\frac{7}{8}) = \frac{1}{8}(\frac{1}{2})(-\frac{7}{8}) = -\frac{7}{128} < 0$$. Знак на интервале: -
• Интервал $$(\frac{1}{4}; 1)$$: Возьмем $$x = \frac{1}{2}$$. Тогда $$\frac{1}{2}(1 - 4(\frac{1}{2}))(\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2}(1 - 2)(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(-1)(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} > 0$$. Знак на интервале: +
• Интервал $$(1; +\infty)$$: Возьмем $$x = 2$$. Тогда $$(2)(1 - 4(2))(2 - 1) = (2)(1 - 8)(1) = (2)(-7)(1) = -14 < 0$$. Знак на интервале: -

--------(+)--------( 0 )--------(-)--------( 1/4 )--------(+)--------( 1 )--------(-)--------

5. Выберем интервалы, где функция больше нуля (знак +).

Решением неравенства является объединение интервалов $$(-\infty; 0) \cup (\frac{1}{4}; 1)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{4}; 1)$$.