4. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°.

Пусть $$BH_1$$ и $$CH_2$$ - высоты, проведенные к боковым сторонам $$AC$$ и $$AB$$ соответственно. Они пересекаются в точке $$M$$, и $$\angle BMC = 140^{\circ}$$. 1. Рассмотрим четырехугольник $$AH_2MH_1$$. У него $$\angle AH_2M = \angle AH_1M = 90^{\circ}$$, так как $$CH_2$$ и $$BH_1$$ - высоты. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому $$\angle H_2AH_1 = 360^{\circ} - \angle AH_2M - \angle AH_1M - \angle H_2MH_1 = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle BAC = 40^{\circ}$$. 2. Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$\angle ABC = \angle ACB$$. Найдем эти углы: $$\angle ABC = \angle ACB = (180^{\circ} - \angle BAC) / 2 = (180^{\circ} - 40^{\circ}) / 2 = 140^{\circ} / 2 = 70^{\circ}$$. Ответ: $$\angle BAC = 40^{\circ}$$, $$\angle ABC = 70^{\circ}$$, $$\angle ACB = 70^{\circ}$$