Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро пирамиды равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Высота пирамиды \( h = 16 \) см.

Боковое ребро \( l = 20 \) см.

Найти:

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)

Решение:

1. Найдем апофему (высоту боковой грани) пирамиды.
   В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат. Высота пирамиды, отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, и апофема образуют прямоугольный треугольник. Половина диагонали квадрата не является катетом этого треугольника. Правильнее использовать прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности (который равен половине стороны основания) и апофемой. Также можно использовать прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и радиусом описанной окружности. Для этого нам нужно найти сторону основания.
2. Найдем сторону основания.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), радиусом описанной окружности \( R \) (половина диагонали основания) и боковым ребром \( l \).
   Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \), где \( a \) — сторона основания.
   Радиус описанной окружности \( R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
   По теореме Пифагора: \( h^2 + R^2 = l^2 \).
   \[ 16^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 20^2 \]
   \[ 256 + \frac{2a^2}{4} = 400 \]
   \[ 256 + \frac{a^2}{2} = 400 \]
   \[ \frac{a^2}{2} = 400 - 256 \]
   \[ \frac{a^2}{2} = 144 \]
   \[ a^2 = 288 \]
   \[ a = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2} \) см.
3. Найдем апофему.
   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), радиусом вписанной окружности \( r \) (половина стороны основания) и апофемой \( ap \).
   Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \) см.
   По теореме Пифагора: \( h^2 + r^2 = ap^2 \).
   \[ 16^2 + (6\sqrt{2})^2 = ap^2 \]
   \[ 256 + (36 \cdot 2) = ap^2 \]
   \[ 256 + 72 = ap^2 \]
   \[ ap^2 = 328 \]
   \[ ap = \sqrt{328} = \sqrt{4 \cdot 82} = 2\sqrt{82} \) см.
4. Найдем площадь боковой поверхности.
   Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot ap \).
   Периметр основания \( P = 4a = 4 \cdot 12\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \) см.
   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{82} \]
   \[ S_{бок} = 48 \sqrt{2 \cdot 82} \]
   \[ S_{бок} = 48 \sqrt{164} \]
   \[ S_{бок} = 48 \sqrt{4 \cdot 41} \]
   \[ S_{бок} = 48 \cdot 2\sqrt{41} \]
   \[ S_{бок} = 96\(\sqrt{41}\) \) см².

Ответ: 96√41 см².