Высота АК остроугольного равнобедренного треугольника АВС (AB = BC) равна 12 см, а КВ = 9 см. Найдите основание треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Значит, точка К - середина АС. Тогда АВ - гипотенуза прямоугольного треугольника АКВ.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AK^2 + KB^2$$

Так как AB = BC, то $$BC^2 = AK^2 + KB^2$$

Обозначим $$AK = x$$, тогда $$AC = 2x$$.

Подставим известные значения и выразим x:

$$BC^2 = x^2 + 9^2$$

По условию $$BC = AB$$, поэтому $$BC > KB$$, значит, $$BC^2 > KB^2$$, откуда $$BC > 9$$

$$BC^2 = 12^2 + 9^2$$

$$BC^2 = 144 + 81 = 225$$

$$BC = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

Рассмотрим треугольник АВК. $$AB^2 = AK^2 + KB^2$$

$$AK^2 = AB^2 - KB^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$$

$$AK = \sqrt{144} = 12$$

$$AC = 2 \cdot AK = 2 \cdot 12 = 24$$

Ответ: 24 см.