Выполните действия: $$\frac{1}{2} \cdot \left(1\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} - 1\frac{3}{4}\right) - 1\frac{1}{24}$$

Сначала выполним действия в скобках. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$, $$2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$, $$1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$$. Теперь выражение в скобках: $$\frac{3}{2} + \frac{8}{3} - \frac{7}{4}$$. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12: $$\frac{3}{2} = \frac{3*6}{2*6} = \frac{18}{12}$$ $$\frac{8}{3} = \frac{8*4}{3*4} = \frac{32}{12}$$ $$\frac{7}{4} = \frac{7*3}{4*3} = \frac{21}{12}$$ Теперь сложим и вычтем дроби: $$\frac{18}{12} + \frac{32}{12} - \frac{21}{12} = \frac{18+32-21}{12} = \frac{29}{12}$$. Теперь умножим полученную дробь на \(\frac{1}{2}\): $$\frac{1}{2} \cdot \frac{29}{12} = \frac{29}{24}$$. Преобразуем вторую смешанную дробь в неправильную: $$1\frac{1}{24} = \frac{25}{24}$$. Теперь вычтем дроби: $$\frac{29}{24} - \frac{25}{24} = \frac{29-25}{24} = \frac{4}{24}$$. Сократим дробь: $$\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$$. Ответ: $$\frac{1}{6}$$