Вычислите: a) log₃ 27 - log₁ 7; б) 2¹⁺¹og₂ 5; в) lg 4 + 2lg 5; г) log₅ √10 - log₅ √2.

Решение:

1. \( \log_3 27 - \log_1 7 \). \( \log_3 27 = 3 \). \( \log_1 7 \) не существует, так как основание логарифма не может быть равно 1.
2. \( 2^{1 + \log_2 5} = 2^1 \cdot 2^{\log_2 5} = 2 \cdot 5 = 10 \).
3. \( \lg 4 + 2\lg 5 = \lg 4 + \lg 5^2 = \lg 4 + \lg 25 = \lg (4 \cdot 25) = \lg 100 = 2 \).
4. \( \log_5 \sqrt{10} - \log_5 \sqrt{2} = \log_5 \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \log_5 \sqrt{\frac{10}{2}} = \log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \frac{1}{2} \).

Ответ: а) не существует; б) 10; в) 2; г) 1/2.