Решить неравенства: a) log₂(8-x) < 1; б) log⅓(x + 1) ≥ log⅓(3 - x); в) log₂ x + log₂(x-1) ≤1.

Решение:

1. \( \log_2 (8-x) < 1 \). ОДЗ: \( 8-x > 0 \) ⇒ \( x < 8 \). Так как основание \( 2 > 1 \), то \( 8-x < 2^1 \). \( 8-x < 2 \). \( x > 6 \). Объединяя с ОДЗ, получаем \( 6 < x < 8 \).
2. \( \log_{1/3} (x+1) \ge \log_{1/3} (3-x) \). ОДЗ: \( x+1 > 0 \) ⇒ \( x > -1 \) и \( 3-x > 0 \) ⇒ \( x < 3 \). Общее ОДЗ: \( -1 < x < 3 \). Так как основание \( 1/3 < 1 \), то \( x+1 \le 3-x \). \( 2x \le 2 \). \( x \le 1 \). Объединяя с ОДЗ, получаем \( -1 < x \le 1 \).
3. \( \log_2 x + \log_2 (x-1) \le 1 \). ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x-1 > 0 \) ⇒ \( x > 1 \). \( \log_2 (x(x-1)) \le 1 \). \( \log_2 (x^2 - x) \le 1 \). Так как основание \( 2 > 1 \), то \( x^2 - x \le 2^1 \). \( x^2 - x \le 2 \). \( x^2 - x - 2 \le 0 \). Корни уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \): \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( x_1 = \frac{1+3}{2} = 2 \). \( x_2 = \frac{1-3}{2} = -1 \). Парабола \( y = x^2 - x - 2 \) направлена ветвями вверх, значит \( x^2 - x - 2 \le 0 \) при \( -1 \le x \le 2 \). Объединяя с ОДЗ \( x > 1 \), получаем \( 1 < x \le 2 \).

Ответ: а) (6; 8); б) (-1; 1]; в) (1; 2].