Вычислите: a) 3 arcctg (-√3/3) + 1/2 arccos √2/2; б) tg (arccos √3/2 - 1/2 arcctg 1/√3).

Решение:

а) \( 3 \text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{1}{2} \text{arccos}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)

Найдём значения обратных тригонометрических функций:

\( \text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} \) (так как \( \text{ctg}(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( \frac{2\pi}{3} \) находится в области определения арккотангенса \( (0; \pi) \)).

\( \text{arccos}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \) (так как \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \frac{\pi}{4} \) находится в области определения арккосинуса \( [0; \pi] \)).

Подставим значения:

\( 3 \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{8} = \frac{16\pi + \pi}{8} = \frac{17\pi}{8} \).

б) \( \text{tg}\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{1}{2} \text{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) \)

Найдём значения обратных тригонометрических функций:

\( \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} \) (так как \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \frac{\pi}{6} \) находится в области определения арккосинуса \( [0; \pi] \)).

\( \text{arcctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3} \) (так как \( \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) и \( \frac{\pi}{3} \) находится в области определения арккотангенса \( (0; \pi) \)).

Подставим значения в выражение:

\( \text{tg}\left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) = \text{tg}(0) = 0 \).

Ответ: а) \(\frac{17\pi}{8}\); б) 0.