Известно, что ctg (t - π) = -3/4 и π/2 < t < π. Найдите: a) cos (3π/2 - t); б) cos (π + t).

Решение:

Используем тригонометрические тождества:

\( \text{ctg}(t - \pi) = \text{ctg}(t) \)

Значит, \( \text{ctg}(t) = -\frac{3}{4} \).

Так как \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \), то \( t \) находится во II четверти. В этой четверти \( \cos(t) < 0 \) и \( \sin(t) > 0 \).

Найдем \( \sin(t) \) и \( \cos(t) \) из основного тригонометрического тождества и определения котангенса:

\( 1 + \text{ctg}^2(t) = \frac{1}{\sin^2(t)} \)

\( 1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2(t)} \)

\( 1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\sin^2(t)} \)

\( \frac{25}{16} = \frac{1}{\sin^2(t)} \)

\( \sin^2(t) = \frac{16}{25} \)

Так как \( t \) во II четверти, \( \sin(t) > 0 \), то \( \sin(t) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).

\( \cos(t) = \text{ctg}(t) \cdot \sin(t) = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5} \).

Теперь найдем значения выражений:

а) \( \cos(\frac{3\pi}{2} - t) \)

Используем формулу приведения: \( \cos(\frac{3\pi}{2} - t) = -\sin(t) \).

\( -\sin(t) = -\frac{4}{5} \).

б) \( \cos(\pi + t) \)

Используем формулу приведения: \( \cos(\pi + t) = -\cos(t) \).

\( -\cos(t) = -\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5} \).

Ответ: а) \(-\frac{4}{5}\); б) \(\frac{3}{5}\).