Решите уравнение: a) 2 cos² x + 5 sin x - 4 = 0; б) sin² x + cos x sin x = 0.

Решение:

а) \( 2 \cos^2(x) + 5 \sin(x) - 4 = 0 \)

Заменим \( \cos^2(x) \) на \( 1 - \sin^2(x) \):

\( 2(1 - \sin^2(x)) + 5 \sin(x) - 4 = 0 \)

\( 2 - 2\sin^2(x) + 5 \sin(x) - 4 = 0 \)

\( -2\sin^2(x) + 5 \sin(x) - 2 = 0 \)

Умножим на -1:

\( 2\sin^2(x) - 5 \sin(x) + 2 = 0 \)

Пусть \( y = \sin(x) \). Получим квадратное уравнение:

\( 2y^2 - 5y + 2 = 0 \)

Дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \).

Корни:

\( y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

\( y_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Возвращаемся к \( y = \sin(x) \):

\( \sin(x) = 2 \) — решений нет, так как \( -1 \le \sin(x) \le 1 \).

\( \sin(x) = \frac{1}{2} \).

Общее решение: \( x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

б) \( \sin^2(x) + \cos(x) \sin(x) = 0 \)

Вынесем \( \sin(x) \) за скобки:

\( \sin(x) (\sin(x) + \cos(x)) = 0 \)

Это даёт два случая:

1) \( \sin(x) = 0 \)

\( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2) \( \sin(x) + \cos(x) = 0 \)

Разделим обе части на \( \cos(x) \) (при \( \cos(x)
e 0 \)):

\( \text{tg}(x) + 1 = 0 \)

\( \text{tg}(x) = -1 \)

\( x = \text{arctg}(-1) + \pi m = -\frac{\pi}{4} + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

Проверим, нет ли решений, когда \( \cos(x) = 0 \). Если \( \cos(x) = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi l \). В этом случае \( \sin(x) = \pm 1 \). Подставим в \( \sin(x) + \cos(x) = 0 \): \( \pm 1 + 0 = 0 \), что неверно. Значит, деление на \( \cos(x) \) было допустимо.

Ответ: а) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \); б) \( x = \pi k \) или \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, k, m \in \mathbb{Z} \).