Вычислите: а) \( 2^{-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \) б) \( 25^{-4} \cdot 5^{-7} \) в) \( (-3)^{-3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \)

Решение:

а) \( 2^{-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \)

1. \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).
2. \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \).
3. \( \frac{1}{8} + 8 = \frac{1}{8} + \frac{64}{8} = \frac{65}{8} \).

б) \( 25^{-4} \cdot 5^{-7} \)

1. Представим \( 25 \) как \( 5^2 \): \( (5^2)^{-4} \cdot 5^{-7} \).
2. \( 5^{2 \cdot (-4)} \cdot 5^{-7} = 5^{-8} \cdot 5^{-7} \).
3. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( 5^{-8 + (-7)} = 5^{-15} \).

в) \( (-3)^{-3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \)

1. \( (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} \).
2. \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27 \).
3. \( \frac{1}{-27} \cdot 27 = -1 \).

Ответ: а) \( \frac{65}{8} \); б) \( 5^{-15} \); в) -1.