10. Вычислите √21-8√5+\frac{1}{√5-2}

Для вычисления выражения √21-8√5+\frac{1}{√5-2} необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростим выражение √21-8√5. Заметим, что выражение под корнем можно представить в виде квадрата разности. Действительно, $$21-8\sqrt{5} = 16 - 8\sqrt{5} + 5 = (4-\sqrt{5})^2$$. Тогда $$\sqrt{21-8\sqrt{5}} = \sqrt{(4-\sqrt{5})^2} = |4-\sqrt{5}| = 4-\sqrt{5}$$, так как $$4 > \sqrt{5}$$.

2. Упростим выражение \frac{1}{\sqrt{5}-2}. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \sqrt{5}+2: $$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение:$$4 - \sqrt{5} + \sqrt{5} + 2 = 6$$.

Ответ: 6