Вычислим:

$$\frac{\frac{\log_{100} 5}{3} \cdot \frac{\log_{100} 7}{4}}{\frac{\lg 5}{\lg 7}} \cdot 2log_{12} 5$$ Используем формулу перехода к новому основанию: $$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$$ Тогда: $$\log_{100} 5 = \frac{\lg 5}{\lg 100} = \frac{\lg 5}{2}$$ $$\log_{100} 7 = \frac{\lg 7}{\lg 100} = \frac{\lg 7}{2}$$ Подставим в исходное выражение: $$\frac{\frac{\frac{\lg 5}{2}}{3} \cdot \frac{\frac{\lg 7}{2}}{4}}{\frac{\lg 5}{\lg 7}} \cdot 2log_{12} 5 = \frac{\frac{\lg 5}{6} \cdot \frac{\lg 7}{8}}{\frac{\lg 5}{\lg 7}} \cdot 2log_{12} 5 = \frac{\frac{\lg 5 \cdot \lg 7}{48}}{\frac{\lg 5}{\lg 7}} \cdot 2log_{12} 5 = \frac{\lg 5 \cdot \lg 7}{48} \cdot \frac{\lg 7}{\lg 5} \cdot 2log_{12} 5 = \frac{(\lg 7)^2}{48} \cdot 2log_{12} 5 = \frac{(\lg 7)^2}{24} \cdot log_{12} 5$$