Вопрос №7 Решить уравнение: x⁴-5x²+4 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 = (x^2)^2 = y^2 \).

Подставим \( y \) в уравнение:

\[ y^2 - 5y + 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его с помощью дискриминанта:

Коэффициенты: \( a=1, b=-5, c=4 \).

Дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \) и найдем значения \( x \).

1. Случай \( y_1 = 4 \):

\[ x^2 = 4 \]

Отсюда \( x = \pm \sqrt{4} \), то есть \( x = 2 \) или \( x = -2 \).

1. Случай \( y_2 = 1 \):

\[ x^2 = 1 \]

Отсюда \( x = \pm \sqrt{1} \), то есть \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Всего уравнение имеет четыре корня: \( -2, -1, 1, 2 \).

Ответ: \( x = \pm 1, x = \pm 2 \).