14. Васе надо решить 140 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 8 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

Пусть \( a_1 \) - количество задач, решенных Васей в первый день, \( d \) - ежедневное увеличение количества задач, а \( n \) - количество дней. Тогда: \[a_1 = 8\] \[n = 7\] Сумма всех решенных задач равна 140: \[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\] \[140 = \frac{7(8 + a_7)}{2}\] Умножим обе стороны на 2: \[280 = 7(8 + a_7)\] Разделим обе стороны на 7: \[40 = 8 + a_7\] Найдем \( a_7 \): \[a_7 = 40 - 8\] \[a_7 = 32\] Теперь найдем разность арифметической прогрессии \( d \). Общий член арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\] \[a_7 = a_1 + 6d\] \[32 = 8 + 6d\] \[6d = 32 - 8\] \[6d = 24\] \[d = 4\] Таким образом, Вася решил 32 задачи в последний день.

Проверка за 10 секунд: Считаем сумму арифметической прогрессии с a_1 = 8, d = 4 и n = 7 и убеждаемся, что она равна 140.

Уровень эксперт: Зная сумму и первый член арифметической прогрессии, можно сразу найти последний член, используя формулу суммы.