Вариант А2, № 2. Постройте график функции y = x² − 2x − 3. а) Найдите по графику функции промежутки, в которых y > 0 и y < 0. б) Не выполняя дополнительных построений, найдите координаты точек пересечения данного графика с графиком функции y = 3x + 47.

Преобразуем функцию: y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4. Поэтому вершина параболы — (1; −4), ветви направлены вверх. Нули функции: x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) = 0, откуда x = −1 и x = 3.

а) Парабола направлена вверх и пересекает ось x в точках −1 и 3. Поэтому y > 0 при x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞), а y < 0 при x ∈ (−1; 3).

б) В точках пересечения значения функций равны: x² − 2x − 3 = 3x + 47. Получаем x² − 5x − 50 = 0 = (x − 10)(x + 5), поэтому x = 10 или x = −5.

При x = 10: y = 3 · 10 + 47 = 77. При x = −5: y = 3 · (−5) + 47 = 32.

График параболы и прямой, а также точки их пересечения:

Ответ: а) y > 0 при x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞); y < 0 при x ∈ (−1; 3). б) (−5; 32) и (10; 77).