Вариант А1, Задание 2: Угол АВС равен 120°. Из точки А проведен перпендикуляр АМ к прямой ВС. Найдите длину отрезка ВМ, если АВ = 18 см.

Решение:

Дан треугольник АВС, \( \angle ABC = 120^{\circ} \). Из точки А к прямой ВС проведен перпендикуляр АМ. Так как \( \angle ABC \) — тупой, точка М лежит на продолжении отрезка ВС за точку В.

Рассмотрим треугольник ABM. \( \angle AMB = 90^{\circ} \) (по условию, АМ — перпендикуляр).

Угол \( \angle ABM \) смежный с углом \( \angle ABC \). Поэтому:

\[ \angle ABM = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABM, где:

• Гипотенуза AB = 18 см.
• Угол \( \angle ABM = 60^{\circ} \).

Нам нужно найти катет ВМ, прилежащий к углу \( \angle ABM \).

Используем косинус угла:

\[ \cos(\angle ABM) = \frac{BM}{AB} \]

\[ BM = AB \cdot \cos(\angle ABM) \]

\[ BM = 18 \text{ см} \cdot \cos(60^{\circ}) \]

Поскольку \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \):

\[ BM = 18 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 9 \text{ см} \]

Ответ: 9 см.