Вариант А1, Задание 1: Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

Решение:

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \).

По условию, высота, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два угла. Пусть эти углы равны \( x \) и \( 4x \).

Сумма этих углов равна прямому углу:

\[ x + 4x = 90^{\circ} \]

\[ 5x = 90^{\circ} \]

\[ x = \frac{90^{\circ}}{5} = 18^{\circ} \]

Тогда углы, на которые высота делит прямой угол, равны \( 18^{\circ} \) и \( 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике острые углы также относятся к этим двум углам. Следовательно, острые углы треугольника равны \( 18^{\circ} \) и \( 72^{\circ} \).

Проверка: \( 18^{\circ} + 72^{\circ} = 90^{\circ} \) (сумма острых углов прямоугольного треугольника).

Ответ: 18° и 72°.