Вариант -2, Задача № 2. Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности равен 8 см. Найдите периметр этого треугольника и радиус вписанной окружности.

Привет! Давай решим эту задачу про равносторонний треугольник и окружности.

Дано:

• Равносторонний треугольник.
• Радиус описанной окружности (R) = 8 см.

Найти:

• Периметр треугольника (P).
• Радиус вписанной окружности (r).

Свойства равностороннего треугольника и окружностей:

• Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
• Радиус описанной окружности (R) в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (r): R = 2r.
• Высота (h) равностороннего треугольника равна сумме радиусов: h = r + R.
• Высота равностороннего треугольника также связана со стороной (a) формулой: h = (a * sqrt(3)) / 2.

Шаг 1: Найдем радиус вписанной окружности (r).

Используем соотношение: R = 2r.

8 см = 2r.

r = 8 см / 2 = 4 см.

Шаг 2: Найдем высоту треугольника (h).

h = r + R = 4 см + 8 см = 12 см.

Шаг 3: Найдем сторону треугольника (a).

Используем формулу высоты: h = (a * sqrt(3)) / 2.

12 см = (a * sqrt(3)) / 2.

Выражаем 'a':

a = (12 см * 2) / sqrt(3) = 24 / sqrt(3).

Избавляемся от корня в знаменателе:

a = (24 * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3)) = 24 * sqrt(3) / 3 = 8 * sqrt(3) см.

Шаг 4: Найдем периметр треугольника (P).

P = 3a.

P = 3 * (8 * sqrt(3) см) = 24 * sqrt(3) см.

Ответ:

• Радиус вписанной окружности: 4 см.
• Периметр треугольника: 24 * sqrt(3) см.