Вариант -1, Задача № 2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 2 см. Найдите периметр этого треугольника и радиус описанной окружности.

Привет! Давай решим эту задачку про равносторонний треугольник, вписанную и описанную окружности.

Дано:

• Равносторонний треугольник.
• Радиус вписанной окружности (r) = 2 см.

Найти:

• Периметр треугольника (P).
• Радиус описанной окружности (R).

Ключевые свойства равностороннего треугольника и окружностей:

• В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадают (это точка пересечения медиан, биссектрис и высот).
• Радиус описанной окружности (R) в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (r). То есть, R = 2r.
• Высота (h) равностороннего треугольника равна сумме радиусов вписанной и описанной окружностей: h = r + R.
• Высота равностороннего треугольника также связана со стороной (a) формулой: h = (a * sqrt(3)) / 2.

Шаг 1: Найдем радиус описанной окружности (R).

Используем простое соотношение: R = 2r.

R = 2 * 2 см = 4 см.

Шаг 2: Найдем высоту треугольника (h).

h = r + R = 2 см + 4 см = 6 см.

Шаг 3: Найдем сторону треугольника (a).

Используем формулу высоты: h = (a * sqrt(3)) / 2.

Подставляем известные значения: 6 см = (a * sqrt(3)) / 2.

Чтобы найти 'a', выразим его:

a = (6 см * 2) / sqrt(3) = 12 / sqrt(3).

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на sqrt(3):

a = (12 * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3)) = 12 * sqrt(3) / 3 = 4 * sqrt(3) см.

Шаг 4: Найдем периметр треугольника (P).

Периметр равностороннего треугольника равен P = 3a.

P = 3 * (4 * sqrt(3) см) = 12 * sqrt(3) см.

Ответ:

• Радиус описанной окружности: 4 см.
• Периметр треугольника: 12 * sqrt(3) см.