Вариант -1, Задача №3. Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Привет! Давай решим задачу про ромб и вписанную окружность.

Что нам дано:

• Ромб.
• Диагональ d1 = 30 см.
• Диагональ d2 = 40 см.

Что нужно найти:

• Радиус окружности, вписанной в ромб (r).

Ключевые свойства ромба:

• Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
• Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей: S = (d1 * d2) / 2.
• Площадь ромба также равна произведению его стороны (a) на высоту (h): S = a * h.
• Высота ромба (h) является диаметром вписанной окружности. То есть, h = 2r.
• Сторону ромба можно найти, используя теорему Пифагора для одного из четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями. Катеты этого треугольника равны половинам диагоналей, а гипотенуза — стороне ромба.

Шаг 1: Найдем половины диагоналей.

• d1 / 2 = 30 см / 2 = 15 см.
• d2 / 2 = 40 см / 2 = 20 см.

Шаг 2: Найдем сторону ромба (a) с помощью теоремы Пифагора.

a² = (d1/2)² + (d2/2)²

a² = 15² + 20²

a² = 225 + 400

a² = 625

a = sqrt(625) = 25 см.

Шаг 3: Найдем площадь ромба (S).

S = (d1 * d2) / 2

S = (30 см * 40 см) / 2 = 1200 см² / 2 = 600 см².

Шаг 4: Найдем высоту ромба (h).

Используем формулу S = a * h, откуда h = S / a.

h = 600 см² / 25 см = 24 см.

Шаг 5: Найдем радиус вписанной окружности (r).

Поскольку высота ромба является диаметром вписанной окружности (h = 2r), то:

r = h / 2

r = 24 см / 2 = 12 см.

Ответ: Радиус вписанной в ромб окружности равен 12 см.