Вариант 2, №4. Найти значение выражения 1/(1+√2) + 1/(√2+√3)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приведем каждый дробный член к знаменателю, избавившись от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
2. Шаг 2: Первый член: \( \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = -1+\sqrt{2} \).
3. Шаг 3: Второй член: \( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2}+\sqrt{3} \).
4. Шаг 4: Сложим полученные выражения: \( (-1+\sqrt{2}) + (-\sqrt{2}+\sqrt{3}) \).
5. Шаг 5: Упростим: \( -1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} = -1 + \sqrt{3} \).

Ответ: √3 - 1