Вариант 1 1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если \(\angle ABO = 30^\circ\). 2. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. a) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Вариант 1 1. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = BO, и треугольник ABO – равнобедренный. Угол \(\angle BAO = \angle ABO = 30^\circ\). Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \(\angle AOB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). Угол между диагоналями равен либо \(\angle AOB\), либо смежному с ним углу. Смежный угол равен \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Меньший из углов между диагоналями равен 60°. Ответ: 60° 2. a) В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, \(KP \parallel MN\). \(\angle MKE = \angle PKE\) (KE - биссектриса угла MKP). \(\angle PKE = \angle MEK\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых KP и MN и секущей KE). Следовательно, \(\angle MKE = \angle MEK\), а значит, треугольник KME – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника). б) Так как треугольник KME равнобедренный, то KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма равен 52 см. Пусть KP = x. Тогда периметр равен: $$2(KM + KP) = 52$$ $$2(10 + x) = 52$$ $$10 + x = 26$$ $$x = 16$$ Следовательно, KP = 16 см. Ответ: 16 см