7) Ваня играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 10000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй - 4 очка, после третьей - восемь очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?

7) Пусть $$b_1$$ — количество очков, добавляемых после первой минуты игры, $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии, $$n$$ — количество минут игры. Тогда количество очков, добавляемых после $$n$$-й минуты игры, равно $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$. Сумма очков, добавленных после $$n$$ минут игры, вычисляется по формуле $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$$.

Из условия задачи известно, что $$b_1 = 2$$, $$q = 2$$. Необходимо найти $$n$$, при котором $$S_n \geq 10000$$.

Используем формулу суммы $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) \geq 10000$$

$$2^n - 1 \geq 5000$$

$$2^n \geq 5001$$

Определим наименьшее целое $$n$$, удовлетворяющее этому неравенству. Можно воспользоваться логарифмом, но проще перебрать степени двойки:

$$2^{12} = 4096 < 5001$$

$$2^{13} = 8192 > 5001$$

Следовательно, $$n = 13$$.

Ответ: 13