В3. В параллелограмме ABCD AB = 8 см, BC = 12 см. Точки K и E лежат соответственно на сторонах BC и CD так, что CK = 3 см, CE = 2 см. Отрезок KE пересекает диагональ AC в точке P. Найдите отношение AP к PC.

Решение:

В параллелограмме ABCD \( AB \parallel CD \) и \( BC \parallel AD \).

\( AB = CD = 8 \) см.

\( BC = AD = 12 \) см.

Точка K лежит на BC, \( CK = 3 \) см. Следовательно, \( BK = BC - CK = 12 - 3 = 9 \) см.

Точка E лежит на CD, \( CE = 2 \) см. Следовательно, \( DE = CD - CE = 8 - 2 = 6 \) см.

Рассмотрим треугольник \( △ KCP \) и \( △ PAE \).

\( ∠ KCP = ∠ PAE \) как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC.

\( ∠ CKP = ∠ AEP \) как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей KE.

\( ∠ CPK = ∠ EPA \) как вертикальные углы.

Следовательно, \( △ KCP \) подобен \( △ PAE \) по трем углам.

Из подобия следует: \( \frac{CK}{AE} = \frac{PC}{PA} = \frac{KP}{PE} \).

Нам нужно найти \( \frac{AP}{PC} \), что равно \( \frac{AE}{CK} \).

Для этого найдем длину AE. В треугольнике \( △ ACE \) известны стороны \( AC \) (диагональ, но ее длина не дана) и \( CE = 2 \) см. Угол \( ∠ C = 90^\circ \) (так как это угол между сторонами BC и CD, но это угол параллелограмма, он не обязательно 90 градусов).

Перейдем к другим подобным треугольникам.

Рассмотрим треугольники \( △ APK \) и \( △ CPE \).

\( ∠ PAK = ∠ PCE \) как накрест лежащие при \( AD – BC – AC \).

\( ∠ AK P = ∠ CPE \) как вертикальные.

\( ∠ APK = ∠ CPE \) как вертикальные.

Следовательно, \( △ APK \) подобен \( △ CPE \) по трем углам.

Из подобия следует: \( \frac{AP}{CP} = \frac{PK}{PE} = \frac{AK}{CE} \).

Нам нужно найти \( \frac{AP}{PC} \).

\( \frac{AP}{PC} = \frac{AK}{CE} \).

Мы знаем \( CE = 2 \) см.

Нам нужно найти \( AK \).

Рассмотрим треугольник \( △ AB D \) и \( △ BKC \).

\( BC = 12 \) см, \( CK = 3 \) см, \( BK = 9 \) см.

\( CD = 8 \) см, \( CE = 2 \) см, \( DE = 6 \) см.

Рассмотрим треугольники \( △ APC \) и \( △ CPE \).

\( ∠ PAC = ∠ PEC \) - неверно.

Рассмотрим треугольники \( △ APD \) и \( △ CPK \).

\( ∠ PAD = ∠ PCK \) как накрест лежащие при \( AD – BC – AC \).

\( ∠ ADP = ∠ KCP \) как накрест лежащие при \( AD – BC – BD \).

\( ∠ APD = ∠ CPK \) как вертикальные.

Следовательно, \( △ APD \) подобен \( △ CPK \) по трем углам.

Из подобия следует: \( \frac{AP}{CP} = \frac{PD}{PK} = \frac{AD}{CK} \).

Мы знаем \( AD = BC = 12 \) см и \( CK = 3 \) см.

\( \frac{AP}{CP} = \frac{12}{3} \)

\( \frac{AP}{CP} = 4 \)

Значит, \( AP = 4 CP \).

Отношение \( AP \) к \( PC \) равно \( \frac{AP}{PC} = 4 \).

Ответ: 4.