B2. В трапеции ABCD основания BC и AD равны соответственно 6 см и 10 см. Диагональ AC, равная 32 см, пересекает диагональ BD в точке K. Найдите КС.

Решение:

В трапеции ABCD основания \( BC \parallel AD \). Диагонали AC и BD пересекаются в точке K.

Рассмотрим треугольники \( △ BKC \) и \( △ DKA \).

\( ∠ BKC = ∠ DKA \) как вертикальные.

\( ∠ KBC = ∠ KDA \) как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD.

\( ∠ KCB = ∠ KAC \) как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC.

Следовательно, \( △ BKC \) подобен \( △ DKA \) по трем углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\( \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} = \frac{CK}{AK} \)

Подставим известные значения оснований:

\( \frac{6}{10} = \frac{CK}{AK} \)

\( \frac{3}{5} = \frac{CK}{AK} \)

Это означает, что \( AK = \frac{5}{3} CK \).

Также известно, что \( AC = AK + CK = 32 \) см.

Подставим \( AK = \frac{5}{3} CK \) в уравнение:

\( \frac{5}{3} CK + CK = 32 \)

\( \frac{8}{3} CK = 32 \)

\( CK = 32 \cdot \frac{3}{8} \)

\( CK = 4 \cdot 3 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.